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目錄
1.卡爾曼濾波入門
2.學卡爾曼濾波的必備知識
2.1.狀態(tài)空間表達式
2.2.高斯分布
2.3.方差
2.4.超參數
2.5.卡爾曼直觀圖解
3.卡爾曼濾波
3.1.卡爾曼公式理解
3.2.調節(jié)超參數
3.2.1.Q和R的取值
3.2.2.P0和X0的取值
3.2.3.卡爾曼濾波的使用
1.卡爾曼濾波入門
卡爾曼濾波的引入：
濾波就是將測量得到的波形中的的噪聲過濾掉，使得到的數據更趨于真實情況，也更加平滑，方便使用。如下圖所示（紅色曲線是測量直接得到的波形，紫色曲線是濾波后得到的平滑曲線）
卡爾曼濾波適用的系統：
卡爾曼濾波適用線性高斯系統
1.線性系統：滿足疊加性和齊次性
疊加性：
齊次性：?
2.高斯系統
高斯：噪聲滿足正態(tài)分布
宏觀意義：
濾波即加權
理想狀態(tài)：信號1+噪聲0
卡爾曼濾波：估計值估計值權重+觀測值觀測值權重
2.學卡爾曼濾波的必備知識
2.1.狀態(tài)空間表達式
：當前狀態(tài)的值；
：上一個時刻該狀態(tài)的值；
：輸入，即給到的一個輸入；
：過程噪聲
A：狀態(tài)轉移矩陣，代表當前狀態(tài)上一時刻的值乘上A這種關系，作用在該系統
B：控制矩陣，輸入乘上B這種關系，作用在該系統
舉例：一輛小車以速度v在路上行駛，迎面而來的風速v1
?
?那么狀態(tài)方程與該情形對應關系如下
：當前狀態(tài)的值；
C：乘上某種關系得到要觀測的值
：觀測噪聲，和觀測器的誤差有關
舉例：火爐對水加溫，藍色點是水溫的狀態(tài)值，紅色的點是溫度計，溫度計是一個傳感器得到觀測值
?那么狀態(tài)方程和觀測方程與該情形對應關系如下
?方框圖表示如下所示
2.2.高斯分布
高斯分布直觀圖解：
二維中，所有值投影到x軸或y軸，都是正態(tài)分布
高斯分布參數分析：
?是過程噪聲，符合正太分布，均值為0，方差為
?是觀測噪聲，符合正太分布，均值為0，方差為
?統稱和為高斯白噪聲
舉例1：GPS檢測到小車的位置，檢測到小車開了1000米，但是GPS有精度誤差，因此要加上米的噪聲，該噪聲就是觀測誤差，=。因為是服從正態(tài)分布的，假設其方差為1，則此時=1
?
?舉例2：有一個滑板，滑板前進的速度是5m/s，由于風的作用，因此滑板的速度有一個噪聲，此時滑板的速度為v+，那么=，是符合正太分布的，假設，則=1
2.3.方差
一維方差：
（1）噪聲的方差：前面的和
（2）狀態(tài)的方差：后面會提到狀態(tài)估計值的方差,
舉例：小車實際跑了10米，但是由于噪聲的影響，小車跑的距離是一個范圍，服從正太分布，此時小車跑的距離就是10+（噪聲），該距離符合正態(tài)分布，因此小車跑的距離本身也會有一個方差。
二維協方差：cov(x,y)
一維的狀態(tài)估計值為一個值；
二維的就是一個矢量，有兩個不同的狀態(tài)，如下圖所示。這兩個不同的狀態(tài)同時對應著不同的噪聲。
?
對于二維的，其協方差就為
多維協方差矩陣C：
2.4.超參數
實驗中，需要自己調來提高系統性能的參數：
卡爾曼濾波器中：Q（過程噪聲的方差）? R（觀測噪聲的方差）
PID控制器中：P? I? D
2.5.卡爾曼直觀圖解
橫軸為車的位置，豎軸為概率密度。
：狀態(tài)量旁邊沒有橫杠就是最優(yōu)估計值（修正值、后驗估計值）
：狀態(tài)量旁邊有橫杠就是預測值（先驗估計值）
：觀測值，也就是傳感器直接測量得到的值
圖解：
（1）
是上一時刻的最優(yōu)估計值，也就是上一時刻卡爾曼濾波最終輸出的值
（2）和
是基于上一時刻最優(yōu)估計值估計出來的當前時刻的預測值
是當前時刻的觀測值
（3）
是當前時刻的最優(yōu)估計值，通過當前時刻預測值和當前時刻觀測值推出，上圖可以看出方差比較小，是因為經過卡爾曼濾波后，最終推出的效果較好
3.卡爾曼濾波
3.1.卡爾曼公式理解
實現過程：使用上一時刻的最優(yōu)結果預測這一時刻的預測值，同時使用這一時刻觀測值（傳感器測得的數據）修正這一時刻預測值，得到這一時刻的最優(yōu)結果
注：當狀態(tài)值是一維的時候，H和I可以看作是1
預測：
1.上一時刻的最優(yōu)估計值，推出這一時刻的預測值：
2.上一時刻最優(yōu)估計值方差/協方差和超參數Q推出這一時刻預測值方差/協方差
深入理解，Q其實對應的是過程噪聲的方差
更新：
1.這一時刻預測值方差/協方差和超參數R推出卡爾曼增益
為卡爾曼增益
因為是和Q有關的，所以將的公式帶入可以推出卡爾曼增益是和Q和R都有關的
深入理解，R其實對應的是觀測噪聲的方差
2.這一時刻預測值、這一時刻觀測值、卡爾曼增益推出這一時刻最優(yōu)估計值
為這一時刻觀測值
3.這一時刻預測值方差/協方差、卡爾曼增益推出這一時刻最優(yōu)估計值方差/協方差
舉例：
小車有兩個狀態(tài)值，p代表位置，v代表速度。小車處于勻加速直線運動
預測模型：
1.上一時刻的最優(yōu)估計值，推出這一時刻的預測值：
2.上一時刻最優(yōu)估計值方差/協方差和超參數Q推出這一時刻預測值方差/協方差
?
推導：
因為
?所以
其實第一步中這一時刻預測值后面應該還有一個過程噪聲Wt要加上（前面省略了），如下圖所示，這里面Q是前面省略的過程噪聲Wt的方差
測量模型：
GPS測量只能測量小車的位置，不能測量小車的速度，所以
Zp是小車此時的真實位置
Zv是小車此時的真實速度
Pt是測量得到的小車此時的位置
Pt是GPS測量位置的誤差
更新模型：
1.這一時刻預測值方差/協方差和超參數R推出卡爾曼增益
前面測量模型中，因為無法測速度，測量相當于是一維的，一維時H看作為1
2.這一時刻預測值、這一時刻觀測值、卡爾曼增益推出這一時刻最優(yōu)估計值
3.這一時刻預測值方差/協方差、卡爾曼增益推出這一時刻最優(yōu)估計值方差/協方差
預測更新循環(huán)往復，就能得到每一時刻的最優(yōu)估計值
3.2.調節(jié)超參數
3.2.1.Q和R的取值
當F=1且一維的情況H=1，那么
?再結合這一時刻最優(yōu)估計值的公式，如下：
可以得出：
當我們更信任觀測值時，那么應該讓卡爾曼增益K增大；從K的公式中可以看出，R越小K越大，Q越大K越大
當我們更信任模型估計值時，那么應該讓卡爾曼增益K減??；從K的公式中可以看出，R越大K越小，Q越小K越小
結論：
當我們更信任模型估計值時（模型估計基本沒有誤差），那么應該讓K小一點，我們應該將R取大一點，Q取小一點
當我們更信任觀測值時（模型估計誤差較大），那么應該讓K大一點，我們應該將R取小一點，Q取大一點
3.2.2.P0和X0的取值
和的取值其實是比較隨意的，因為經過后面幾輪迭代后，就會很快趨于穩(wěn)定值
3.2.3.卡爾曼濾波的使用
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