推廣的羅爾定理 推廣的羅爾定理如何判斷根的個(gè)數(shù)?
Akulaku樂享購(gòu)跨境問答2025-05-262100
羅爾定理(Rolle's Theorem)是微積分中的一個(gè)重要定理,它描述了在函數(shù)可導(dǎo)的前提下,兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)在其定義域內(nèi)必定連續(xù)。這個(gè)定理對(duì)于解決一些微分方程和優(yōu)化問題非常有用。
推廣的羅爾定理可以描述為:如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可導(dǎo),且$g(x)$在區(qū)間$[a,b]$上也是可導(dǎo)的,那么函數(shù)$F(x)=f(x)g(x)$在區(qū)間$[a,b]$上也是可導(dǎo)的,并且$F'(x)=\frac3ih7pjjnjzpn{dx}[f(x)g(x)]=\frac3ih7pjjnjzpn{dx}(f(x))g(x)+f(x)\frac3ih7pjjnjzpn{dx}(g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$。
這個(gè)定理的證明可以通過求導(dǎo)數(shù)來得到,即先求出$F'(x)$,然后將其與$F(x)$相除,得到$\frac{F'(x)}{F(x)}$。由于$F(x)$在$[a,b]$上可導(dǎo),所以$\frac{F'(x)}{F(x)}$在$[a,b]$上也必然可導(dǎo),即$F'(x)$在$[a,b]$上也必然存在。
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